math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/exercise6.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题1. 从 $\\{1,2, \\cdots, 100\\}$ 中任取 55 个不同的数, 问其中是否必有两个数, 使得这两个数之差等于: (a)9; (b)11?",5    "solution": "考察下列 91 个数对: $\\{i, i+9\\}, i=1,2,3, \\cdots, 91 \\cdots$ (1). 易见, 1,2 , $\\cdots, 9$ 和 $92,93, \\cdots, 100$ 这 18 个数中每个数恰属于上述数对中之一对, 而其余 82 个数中每个数恰属于上述数对中两对.\n因此 55 个数至少属于(1)中 $18+$ (55-18) $\\times 2=92$ 个数对, 由抽庶原理知其中必有两个数属于(1)中同一数对, 即两数之差等于 9 . 而当所取 55 个数为 $1,2, \\cdots, 11 ; 23,24, \\cdots, 33 ; 45,46$, $\\cdots, 55 ; 67,68, \\cdots, 77 ; 89,90, \\cdots, 99$ 时,其中任何两数之差不等于 11.",6    "remark": "",7    "figures": []8}