math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/exercise4.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题2. 试确定实数 $a_0$, 使得由递推关系 $a_{n+1}=-3 a_n+2^n(n=0,1,2, \\cdots)$ 决定的数列 $\\left\\{a_n\\right\\}$ 严格递增, 即对 $n \\geqslant 0, a_{n+1}>a_n$.",5    "solution": "两边除以 $2^{n+1}$ 得 $\\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=-\\frac{3}{2} \\frac{a_n}{2^n}+\\frac{1}{2}$, 令 $b_n=\\frac{a_n}{2^n}$, 则 $b_{n+1}=-\\frac{3}{2} b_n+\\frac{1}{2}$, 即 $b_{n+1}-\\frac{1}{5}=-\\frac{3}{2}\\left(b_n-\\frac{1}{5}\\right)$ (注意, 这是 $\\frac{1}{5}$ 是 $f(x)=-\\frac{3}{2} x+\\frac{1}{2}$ 的不动点, 即方程 $f(x)=x$ 的根). 于是 $b_n-\\frac{1}{5}=\\left(b_0-\\frac{1}{5}\\right)\\left(-\\frac{3}{2}\\right)^n=\\left(a_0-\\frac{1}{5}\\right)\\left(-\\frac{3}{2}\\right)^n$, 所以 $a_n=2^n b_n=2^n\\left[\\left(a_0-\\frac{1}{5}\\right)\\left(-\\frac{3}{2}\\right)^n+\\frac{1}{5}\\right]==(-3)^n\\left[\\left(a_0-\\frac{1}{5}\\right)+\\frac{1}{5}\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^n\\right]$. \n因为当 $n$ 足够大时, $\\left(\\frac{2}{3}\\right)^n$ 趋于 0 ,于是, 若 $a_0-\\frac{1}{5} \\neq 0$, 则上式中括号内的数在 $n$ 足够大时与 $a_0-\\frac{1}{5}$ 同号, 但 $(-3)^n(n=0,1,2, \\cdots)$ 轮流为正、负数, 从而不可能严格递增, 因此, 当且仅当 $a_0-\\frac{1}{5}=0$, 即 $a_0=\\frac{1}{5}$ 时, $a_n=\\frac{2^n}{5}$ 严格递增.",6    "remark": "",7    "figures": []8}