math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/exercise13.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题3. 某种比赛中每个队恰好与其他队各赛一场, 每场比赛中胜者得 2 分, 负者得 0 分, 平局各得 1 分, 比赛结束后发现, 每队所得分数中恰有一半是该队同十个得分最低的队的比赛中得到的(十个得分最低的队所得分数中一半是他们彼此比赛中得到的), 问共有几个队参加比赛?",5    "solution": "设有 $n$ 个队, 则 $n$ 个队共得了 $2 \\mathrm{C}_n^2=n(n-1)$ 分.\n而 10 个得分最低的队彼此之间对局共得 $2 \\mathrm{C}_{10}^2=90$ 分.\n因为这是他们得分的一半, 故这 10 个队共得 180 分; 其余 $n-10$ 个队彼此之间比赛共得 $2 \\mathrm{C}_{n-10}^2=(n-10)(n-11)$ 分, 这也是他们得分的一半, 所以他们共得 $2(n-10)(n-11)$ 分.\n于是 $n(n- 1)=180+2(n-10)(n-11)$, 即 $(n-16)(n-25)=0$, 解得 $n_1=25, n_2=$ 16 (舍去, 因必须 $2(n-10)(n-11) \\div(n-10)>180 \\div-10)$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}