math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/exercise13.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题2. 将正三角形每边 $n$ 等分, 过分点在正三角形内作边的平行线将正三角形剖分为小正三角形, 问 (1) 其中有多少个正三角形 (包括原来的正三角形在内)?(2)有多少个菱形?",5    "solution": "(1) 边长为 $k$ 且 \"头朝上\" 的正三角形个数为 $x_k=1+2+\\cdots+[n- (k-1)]=\\frac{1}{2}(n-k+1)(n-k+2)=\\frac{1}{6}[(n-k+1)(n-k+2)(n-k+ 3)-(n-k)(n-k+1)(n-k+2)]$, 故 \"头朝上\" 的正三角形个数为 $S_1= \\sum_{k=1}^n x_k=\\frac{1}{6} \\sum_{k=1}^n[(n-k+1)(n-k+2)(n-k+3)-(n-k)(n-k+1)(n- k+2)]=\\frac{1}{6} n(n+1)(n+2)$. 边长为 $l$ 且 \"头朝下\" 的正三角形个数为 $y_i= 1+2+3+\\cdots+(n-2 l+1)=\\frac{1}{2}(n-2 l+1)(n-2 l+2)\\left(1 \\leqslant l \\leqslant\\left[\\frac{n}{2}\\right]\\right)$.\n当 $n=2 m$ 为偶数时, \"头朝下\"的正三角形个数为 $S_2=\\sum_{l=1}^{\\left[\\frac{n}{2}\\right]} y_l=\\frac{1}{2} \\sum_{l=1}^m[(2 m- \\left.2 l+2)^2-(2 m-2 l+2)\\right]=\\sum_{l=1}^m\\left[2(m-l+1)^2-(m-l+1)\\right]=2 \\sum_{l=1}^m l^2- \\sum_{l=1}^m l=2 \\times \\frac{1}{6} m(m+1)(2 m+1)-\\frac{1}{2} m(m+1)=\\frac{1}{6} m(m+1)(4 m-1)= \\frac{1}{24} n(n+2)(2 n-1)$, 当 $n=2 m-1$ 时, 类似可得 $S_2=\\sum_{l=1}^{\\left[\\frac{n}{2}\\right]} y_l=\\frac{1}{2} \\sum_{l=1}^{m-1}(2 m- 2 l)(2 m-2 l+1)=2 \\sum_{l=1}^{m-1}(m-l)^2+\\sum_{l=1}^{m-1}(m-l)=\\frac{1}{3}(m-1) m(2 m-1)+ \\frac{1}{2}(m-1) m=\\frac{1}{6}(m-1) m(4 m+1)=\\frac{1}{24}(n-1)(n+1)(2 n+3)$, 故当 $n$ 为偶数时正三角形总个数为 $S=S_1+S_2=\\frac{1}{6} n(n+1)(n+2)+\\frac{1}{24} n(n+2) (2 n-1)=\\frac{1}{8} n(n+2)(2 n+1)$; 当 $n$ 为奇数时, 正三角形总个数为 $S= \\frac{1}{6} n(n+1)(n+2)+\\frac{1}{24}(n-1)(n+1)(2 n+3)=\\frac{1}{8}(n+1)\\left(2 n^2+3 n-1\\right)$.\n(2)因边不平行 $B C$ 的菱形的下半部分正好是一个 \"头朝下\" 的正三角形,这种对应是一一对应.\n故边不平行 $B C$ 的菱形个数等于 \"头朝下\"的正三角形个数 $S_2$. 于是由 (1) 知当 $n$ 为偶数时, 菱形的个数为 $3 S_2=\\frac{3}{8} n(n+2)(2 n- 1), n$ 为奇数时,菱形的个数为 $3 S_2=\\frac{3}{8}(n-1)(n+1)(2 n+3)$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}