math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/exercise10.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题2. 设有 9 枚棋子放在 $8 \\times 8$ 国际象棋棋盘的左下角, 每小格内放一枚,组成 $3 \\times 3$ 的正方形,规定每枚棋子可以跳过他邻格中的另一枚棋子到一个空着的方格.\n即可以关于它有棋子的邻格中心作对称运动 (可以横跳、坚跳或沿对角线斜跳). 要求这些棋子跳到棋盘的另一角, 且仍构成 $3 \\times 3$ 正方形,如果达到的是:(1)左上角, (2)右上角, 这一要求能否实现?",5    "solution": "均不能实现.\n将棋盘上的行自下而上编号、列自左向右编号为 1,2 , $\\cdots, 8$. 第 $i$ 行第 $j$ 列的方格记为 $(i, j)$, 考察 9 枚棋子的纵坐标之和 $S$. 如果它们能跳到左(右)上角 $3 \\times 3$ 正方形中, 那么和 $S$ 将增加 $3(6+7+8-1-2-3 )=45$, 即 $S$ 的奇偶性发生了变化,但另一方面, 某棋子跳一次, 和 $S$ 增加 2 (坚跳或斜跳) 或 0 (横跳). 因此, 棋子在跳动过程中和 $S$ 的奇偶性不变, 矛盾.\n这表明题中两个要求均不能实现.",6    "remark": "",7    "figures": []8}