math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 已知 $A=\\left\\{x \\mid x^2+x-6=0\\right\\}, B=\\{x \\mid m x+1=0\\}$, 且 $A \\cup B=A$, 求实数 $m$ 的取值范围.",5    "solution": "分析: 关键是如何理解和运用 $A \\cup B=A$ 这个条件.\n注意到 $A \\cup B=A \\Leftrightarrow B \\subseteq A$, 用列举法表示 $A$, 即可写出 $B$ 的各种情形, 但不要忘了 $B=\\varnothing$ 的情形!\n解: $A=\\left\\{x \\mid x^2+x-6=0\\right\\}=\\{-3,2\\} . B=\\{x \\mid m x+1=0\\}$ 至多有一个元素.\n因为 $A \\cup B=A$, 所以 $B \\subseteq A$. 因此, $B=\\{-3\\}$, 或 $B=\\{2\\}$, 或 $B=\\varnothing$, 即\n$$\n-3 m+1=0 \\text {, 或 } 2 m+1=0 \\text {, 或 } m=0 \\text {, }\n$$\n解得 $m=\\frac{1}{3}$ 或 $-\\frac{1}{2}$ 或 0 .\n故实数 $m \\in\\left\\{\\frac{1}{3},-\\frac{1}{2}, 0\\right\\}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}